如何证明x^x在(0,+∞)是连续的?
2023-06-25 阅读 48
要证明x^x在(0,+∞)是连续的，需要证明它满足极限存在和极限值等于函数值的定义。
首先，考虑x^x在(0,+∞)的极限存在。当x趋近于0时，x^x的值趋近于1，因为x^x可以写成e^(xlnx)，当x趋近于0时，xlnx的值趋近于0，因此e^(xlnx)的值趋近于1。当x趋近于+∞时，x^x的值趋近于+∞，因为x^x可以写成e^(xlnx)，当x趋近于+∞时，xlnx的值趋近于+∞，因此e^(xlnx)的值趋近于+∞。因此，x^x在(0,+∞)的极限存在。
其次，考虑x^x在(0,+∞)的极限值等于函数值。设x_n是一个趋近于x的数列，则：
lim x_n^x_n = lim e^(x_nlnx_n)
= e^(lim x_nlnx_n) （因为e^x是连续函数）
= e^(lim ln(x_n^(1/x_n))^(x_n) * x)
= e^(lim ln(x_n^(1/x_n)) * lim x_n^x_n) （因为ln(x)是连续函数）
= e^(ln(lim x_n^(1/x_n)) * lim x_n^x_n) （因为ln(x)是连续函数）
= e^(lnx * lim x_n^x_n)
因此，要证明x^x在(0,+∞)是连续的，只需证明lim x_n^x_n = x^x，即证明lim x_n^x_n / x^x = 1。
考虑lim x_n^x_n / x^x = lim e^(x_nlnx_n) / e^(xlnx) = lim e^((x_n-x)lnx_n + xln(x_n/x))。由于x_n趋近于x，因此x_n/x趋近于1，因此ln(x_n/x)趋近于0。因此，当x_n趋近于x时，(x_n-x)lnx_n趋近于0，因此e^((x_n-x)lnx_n)趋近于1。因此，lim x_n^x_n / x^x = lim e^((x_n-x)lnx_n + xln(x_n/x)) = lim e^((x_n-x)lnx_n) * e^(xln(x_n/x)) = 1 * 1 = 1。
因此，x^x在(0,+∞)是连续的。
更新于 2023年06月27日
