请问单位圆周S1上定义等价关系～，对径点x～-x，如何证明S1/～与S1同胚?
2024-11-22 阅读 12
我们可以定义一个映射$f: S^1/\sim \to S^1$，其中$S^1$是单位圆周，$\sim$是定义在$S^1$上的等价关系。对于任意$[x] \in S^1/\sim$，其中$x \in S^1$，我们可以定义$f([x]) = x$。这个映射是一个双射。
接下来我们需要证明这个映射是一个同胚映射。首先，我们需要证明$f$是一个连续映射。考虑$S^1$上的开集$U$，我们有$f^{-1}(U) = \{[x] \in S^1/\sim : x \in U\}$。因为$f$是一个双射，我们可以写出$f^{-1}(U)$为$x \cup -x$，这是一个单位圆周上的开集。因此$f$是一个连续映射。
其次，我们需要证明$f$是一个开映射。考虑$S^1/\sim$上的开集$V$，我们有$f(V) = \{x \in S^1 : [x] \in V\}$。因为$f$是一个双射，我们可以写出$f(V)$为$V$对应的单位圆周上的点集。这是一个单位圆周上的开集。因此$f$是一个开映射。
综上所述，我们证明了$f$是一个同胚映射，从而$S^1/\sim$与$S^1$同胚。
更新于 2024年11月25日
