请问单位圆周S1上定义等价关系～，对径点x～-x，如何证明S1/～与S1同胚?
2024-11-22 阅读 26
我们可以定义一个映射f: S^1/\sim \to S^1，其中S^1是单位圆周，\sim是定义在S^1上的等价关系。对于任意[x] \in S^1/\sim，其中x \in S^1，我们可以定义f([x]) = x。这个映射是一个双射。
接下来我们需要证明这个映射是一个同胚映射。首先，我们需要证明f是一个连续映射。考虑S^1上的开集U，我们有f^{-1}(U) = \{[x] \in S^1/\sim : x \in U\}。因为f是一个双射，我们可以写出f^{-1}(U)为x \cup -x，这是一个单位圆周上的开集。因此f是一个连续映射。
其次，我们需要证明f是一个开映射。考虑S^1/\sim上的开集V，我们有f(V) = \{x \in S^1 : [x] \in V\}。因为f是一个双射，我们可以写出f(V)为V对应的单位圆周上的点集。这是一个单位圆周上的开集。因此f是一个开映射。
综上所述，我们证明了f是一个同胚映射，从而S^1/\sim与S^1同胚。
更新于 2024年11月25日
