如何证明 π 是超越数?

2023-04-21 阅读 90

证明 π 是超越数是一个经典的数学问题。以下是一个简单的证明:

假设 π 是代数数(即可以表示为有理数系数多项式的根),那么存在一个最低次数为 n 的多项式 p(x),使得 p(\pi)=0

考虑单位圆上的点 (1,\pi),它的坐标是代数数,因此可以表示为有理数系数多项式的根。由于这个点在单位圆上,它满足方程 x^2+y^2=1,因此有:

(1-\pi^2)^2+\left(2\pi\sqrt{1-\pi^2}\right)^2=1

展开后得到:

4\pi^2-4\pi^4+\left(1-4\pi^2+4\pi^4\right)=1

化简得到:

\pi^2=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{1-4\left(\frac{1}{2}-\pi^2\right)^2}

右边的根式是代数数,因此 \pi^2 也是代数数。但是,这意味着 \pi 是一个代数数的平方根,因此 \pi 也是一个代数数。但是,这与我们最初的假设相矛盾,因为我们假设 \pi 是超越数的否定,因此我们的假设是错误的。

因此,我们可以得出结论:\pi 是超越数。

更新于 2023年04月24日