如何证明 π 是超越数？
2023-04-21 阅读 308
证明 π 是超越数是一个经典的数学问题。以下是一个简单的证明：
假设 π 是代数数（即可以表示为有理数系数多项式的根），那么存在一个最低次数为 $n$ 的多项式 $p(x)$，使得 $p(\pi)=0$。
考虑单位圆上的点 $(1,\pi)$，它的坐标是代数数，因此可以表示为有理数系数多项式的根。由于这个点在单位圆上，它满足方程 $x^2+y^2=1$，因此有：
$$(1-\pi^2)^2+\left(2\pi\sqrt{1-\pi^2}\right)^2=1$$
展开后得到：
$$4\pi^2-4\pi^4+\left(1-4\pi^2+4\pi^4\right)=1$$
化简得到：
$$\pi^2=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{1-4\left(\frac{1}{2}-\pi^2\right)^2}$$
右边的根式是代数数，因此 $\pi^2$ 也是代数数。但是，这意味着 $\pi$ 是一个代数数的平方根，因此 $\pi$ 也是一个代数数。但是，这与我们最初的假设相矛盾，因为我们假设 $\pi$ 是超越数的否定，因此我们的假设是错误的。
因此，我们可以得出结论：$\pi$ 是超越数。
更新于 2023年04月24日
