如何利用有理数连续性证明无理数的存在？
2023-05-29 阅读 39
要证明无理数的存在，可以利用有理数的连续性。具体方法如下：
1. 首先，我们知道有理数是可以用分数表示的，即可以表示为两个整数的比值，如1/2、3/4等。
2. 然而，我们也知道存在一些数，如根号2，无法表示为两个整数的比值，即它是无理数。
3. 现在，我们可以构造一个数列，使得它的每一项都是有理数，但是这个数列的极限是无理数。具体构造方法如下：
1）从有理数集合中选择两个数a和b，使得a < 根号2 < b。
2）取它们的平均数c = (a + b) / 2，如果c的平方小于2，则取a = c，否则取b = c。
3）重复步骤2，不断缩小a和b之间的距离，直到它们的差小于任意给定的正数ε。
4）这个数列的每一项都是有理数，但是它们的极限是根号2，即一个无理数。
4. 因此，我们利用有理数的连续性证明了无理数的存在。
需要注意的是，这个证明只是一个构造性证明，它并没有给出无理数的精确定义。无理数的定义需要用到实数的完备性，即任何有界的实数集合都有上确界和下确界。
更新于 2023年05月30日
