如何证明：直柱体底面积与截面积只比为两面夹角余弦值？
2023-06-22 阅读 35
证明：
设直柱体的底面为正方形，边长为a，柱体高为h。取柱体中心轴线上一点O，连接OA、OB两条线段，其中OA为底面对角线，OB为柱体侧面与底面相交产生的圆的直径。则OA为柱体中心轴线上一条高，OB为柱体侧面上一条高。
由于底面为正方形，所以OA=√2a，底面积为a²；
由于OB为圆的直径，所以OB=a，截面积为πa²/4；
由于OA与OB垂直，所以∠AOB=90°；
由于OA为底面对角线，所以∠AOC=45°；
由于OB为直径，所以∠OBC=90°；
则∠AOB=∠AOC+∠OBC=45°+90°=135°；
则底面积与截面积只比为两面夹角余弦值：a²/（πa²/4）=cos135°=-1/√2。
因为底面形状不同，但是底面积与截面积只比为两面夹角余弦值，所以该结论对于所有直柱体都成立。
更新于 2023年06月22日
