如何优雅地证明a ln(x)+x e^(x)-1 (a<0)有最小值？
2024-02-16 阅读 24
要证明函数$f(x) = a \ln(x) + x e^x - 1$ 在定义域内有最小值，可以通过以下步骤：
1. 求导：首先计算函数$f(x)$ 的导数$f'(x)$。
\[ f'(x) = a \cdot \frac{1}{x} + e^x + x e^x \]
2. 找出导数的零点：解方程 $f'(x) = 0$，得到可能的最小值点。
\[ a \cdot \frac{1}{x} + e^x + x e^x = 0 \]
3. 检查驻点：将得到的零点代入原函数$f(x)$，并比较各点的函数值，找出最小值点。
4. 检查边界：检查定义域的边界，即$x$的取值范围，看是否有可能在边界取得最小值。
通过以上步骤，可以证明函数$f(x) = a \ln(x) + x e^x - 1$ 在定义域内有最小值。
更新于 2024年04月17日
