如何优雅地证明a ln(x)+x e^(x)-1 (a<0)有最小值？
2024-02-16 阅读 29
要证明函数f(x) = a \ln(x) + x e^x - 1 在定义域内有最小值，可以通过以下步骤：
- 求导：首先计算函数f(x) 的导数f'(x)。
[ f'(x) = a \cdot \frac{1}{x} + e^x + x e^x ]
- 找出导数的零点：解方程 f'(x) = 0，得到可能的最小值点。
[ a \cdot \frac{1}{x} + e^x + x e^x = 0 ]
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检查驻点：将得到的零点代入原函数f(x)，并比较各点的函数值，找出最小值点。
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检查边界：检查定义域的边界，即x的取值范围，看是否有可能在边界取得最小值。
通过以上步骤，可以证明函数f(x) = a \ln(x) + x e^x - 1 在定义域内有最小值。
更新于 2024年04月17日
