如何证明一元n次方程的韦达定理?
2024-12-26 阅读 17
证明一元n次方程的韦达定理可以通过数学归纳法来完成。首先，我们知道一元n次方程的一般形式为：$ax^n + bx^{n-1} + cx^{n-2} + \ldots + k = 0$。
1. **基础情况：** 当$n=1$时，方程为$ax + b = 0$，根据一次方程的解的公式，可以得到方程的解为$x = -\frac{b}{a}$，即韦达定理成立。
2. **归纳假设：** 假设对于任意小于等于$n$的正整数$k$，一元k次方程的韦达定理均成立。
3. **归纳步骤：** 现在考虑一元n次方程$ax^n + bx^{n-1} + cx^{n-2} + \ldots + k = 0$。我们可以通过以下步骤证明韦达定理成立：
- 首先，设该方程的根为$x_1, x_2, \ldots, x_n$，则根据韦达定理，我们有：$x_1 + x_2 + \ldots + x_n = -\frac{b}{a}$。
- 其次，考虑将$n$次方程拆解为一个$n-1$次方程和一个一次方程的乘积形式：$(x-x_1)(x-x_2)\ldots(x-x_n) = 0$。
- 根据乘法公式展开上式可得：$x^n - (x_1+x_2+\ldots+x_n)x^{n-1} + \ldots + (-1)^n x_1x_2\ldots x_n = 0$。
- 将$x_1 + x_2 + \ldots + x_n = -\frac{b}{a}$代入上式，可得：$x^n + \left(\frac{b}{a}\right)x^{n-1} + \ldots + (-1)^n \left(\frac{k}{a}\right) = 0$。
- 由此可见，一元n次方程的韦达定理成立。
因此，通过数学归纳法的证明过程，我们可以证明一元n次方程的韦达定理。
更新于 2024年12月26日
