如何证明一元n次方程的韦达定理?
2024-12-26 阅读 31
证明一元n次方程的韦达定理可以通过数学归纳法来完成。首先，我们知道一元n次方程的一般形式为：ax^n + bx^{n-1} + cx^{n-2} + \ldots + k = 0。
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基础情况： 当n=1时，方程为ax + b = 0，根据一次方程的解的公式，可以得到方程的解为x = -\frac{b}{a}，即韦达定理成立。
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归纳假设： 假设对于任意小于等于n的正整数k，一元k次方程的韦达定理均成立。
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归纳步骤： 现在考虑一元n次方程ax^n + bx^{n-1} + cx^{n-2} + \ldots + k = 0。我们可以通过以下步骤证明韦达定理成立：
- 首先，设该方程的根为x_1, x_2, \ldots, x_n，则根据韦达定理，我们有：x_1 + x_2 + \ldots + x_n = -\frac{b}{a}。
- 其次，考虑将n次方程拆解为一个n-1次方程和一个一次方程的乘积形式：(x-x_1)(x-x_2)\ldots(x-x_n) = 0。
- 根据乘法公式展开上式可得：x^n - (x_1+x_2+\ldots+x_n)x^{n-1} + \ldots + (-1)^n x_1x_2\ldots x_n = 0。
- 将x_1 + x_2 + \ldots + x_n = -\frac{b}{a}代入上式，可得：x^n + \left(\frac{b}{a}\right)x^{n-1} + \ldots + (-1)^n \left(\frac{k}{a}\right) = 0。
- 由此可见，一元n次方程的韦达定理成立。
因此，通过数学归纳法的证明过程，我们可以证明一元n次方程的韦达定理。
更新于 2024年12月26日
