在量子力学中，如何证明归一化常数与时间无关？
2023-09-03 阅读 1145
在量子力学中，归一化常数表示波函数的归一化条件，用于确保概率守恒。归一化常数与时间无关的证明可以通过薛定谔方程来进行。
薛定谔方程描述了量子系统的时间演化。假设有一个归一化的波函数ψ(x, t)，其中x是位置，t是时间。根据薛定谔方程，波函数的时间演化可以表示为：
∂ψ(x, t)/∂t = -iħ/2m ∂²ψ(x, t)/∂x²
其中ħ是约化普朗克常数，m是粒子的质量。
为了证明归一化常数与时间无关，我们可以考虑波函数的时间导数与归一化条件之间的关系。根据薛定谔方程，我们可以对波函数的时间导数进行计算：
d/dt ∫|ψ(x, t)|² dx = ∫∂/∂t(|ψ(x, t)|²) dx
= ∫(∂ψ/∂t)ψ* + ψ(∂ψ*/∂t) dx
= -iħ/2m ∫(∂²ψ/∂x²)ψ* + ψ(∂²ψ*/∂x²) dx
= -iħ/2m ∫(∂²ψ/∂x²)ψ* dx + iħ/2m ∫ψ(∂²ψ*/∂x²) dx
根据薛定谔方程，上述表达式可以简化为：
d/dt ∫|ψ(x, t)|² dx = 0
这说明波函数的归一化条件随时间的变化率为零，即归一化常数与时间无关。因此，在量子力学中，归一化常数是保持不变的。
更新于 2023年09月03日
