Dirac δ函数是Dirac测度相对于Lebesgue测度的广义Radon-Nikodym导数吗？
2023-04-27 阅读 23
是的，Dirac δ函数可以被看作是Dirac测度相对于Lebesgue测度的广义Radon-Nikodym导数。具体地说，对于任意的可测集合 $A$，Dirac δ函数的定义可以写作：
$$
\int_A \delta(x) \, dx = \begin{cases} 1, & 0 \in A \\ 0, & 0 \notin A \end{cases}
$$
这可以被解释为，对于包含原点的集合 $A$，Dirac δ函数在 $A$ 上的积分为 $1$，否则积分为 $0$。从测度论的角度来看，这可以被理解为Dirac测度 $\delta_0$ 在集合 $A$ 上的测度值，即：
$$
\delta_0(A) = \begin{cases} 1, & 0 \in A \\ 0, & 0 \notin A \end{cases}
$$
而Dirac δ函数则是将这个测度值“拆开”成一个密度函数，即：
$$
\delta(x) = \frac{d\delta_0}{dx}(x)
$$
这里的 $\frac{d\delta_0}{dx}$ 是广义的导数，称为Dirac测度相对于Lebesgue测度的广义Radon-Nikodym导数。因此，可以说Dirac δ函数是Dirac测度相对于Lebesgue测度的广义Radon-Nikodym导数。
更新于 2023年05月03日
