请问如何反证在区间(a,b)中有无数个点的导数为零，则不满足函数严格单调性？
2024-03-13 阅读 12
要反证在区间(a,b)中有无数个点的导数为零，但函数严格单调，我们可以考虑构造一个反例。假设存在函数f(x)在区间(a,b)上导数为零的点有无穷多个，且函数f(x)严格单调。由于导数为零的点处函数可能是极大值、极小值或拐点，我们可以考虑构造一个反例：
考虑函数f(x) = x^3 在区间(-1,1)上，f(x)的导数为f'(x) = 3x^2。在区间(-1,1)中，f'(0) = 0，即导数为零的点有无穷多个。但是我们可以发现，f(x)在区间(-1,1)上不是严格单调的，因为当x>0时，f'(x)>0；当x<0时，f'(x)<0。这意味着函数f(x)在区间(-1,1)上不满足严格单调性。
因此，我们可以通过这个反例说明，在区间(a,b)中有无穷多个导数为零的点，且函数严格单调这个假设是不成立的。
更新于 2024年11月20日
