这个系统动能是怎么用变分法得出来的，有没有大佬解答一下？
2023-07-11 阅读 66
动能是物体运动的能量，它可以通过变分法来推导得出。变分法是一种数学方法，用于求解泛函的极值问题，其中泛函是一个函数，它接受一个函数作为输入并返回一个实数作为输出。
在求解动能的变分问题中，我们首先定义一个泛函，它表示了物体的动能。假设物体的位置随时间变化而变化，我们可以将其表示为一个函数，例如x(t)。动能可以表示为该函数的泛函，记作K[x(t)]。
然后，我们可以使用变分法来寻找使得动能泛函取极值的函数。变分法的基本思想是将函数的变分（微小变化）加入到泛函中，并通过求导等操作找到使得泛函取极值的函数。
具体而言，我们可以将动能泛函表示为积分形式，即K[x(t)] = ∫L(x(t), ẋ(t), t) dt，其中L是拉格朗日量，x(t)是位置函数，ẋ(t)是位置函数对时间的导数。
然后，我们可以使用欧拉-拉格朗日方程来推导出动能的变分表达式。欧拉-拉格朗日方程是变分法的基本方程，它给出了泛函的极值条件。对于动能泛函，欧拉-拉格朗日方程可以写为：
δK[x(t)] = ∫(∂L/∂x - d/dt(∂L/∂ẋ))δx(t) dt = 0，
其中δ表示变分操作，∂L/∂x和∂L/∂ẋ分别表示拉格朗日量L对位置x和速度ẋ的偏导数。
通过对上述方程进行变分运算，并利用分部积分等技巧，可以得到动能的变分表达式。
总之，动能的变分表达式可以通过变分法和欧拉-拉格朗日方程推导得出。这是一种数学方法，用于求解泛函的极值问题。
更新于 2023年07月11日
