能否找到一个处处光滑的n维紧流形，但是它的n维测度（表面积、体积等）不是有限的，而是正无穷大？
2023-04-23 阅读 58
可以找到这样的流形。一个例子是“无限维球面”，即具有无限个坐标轴的球面。这个球面可以通过将每个坐标轴的范围限制在[-1,1]之间，然后将所有坐标轴的平方和限制为1来定义。然而，由于无限个坐标轴，球面的测度是无穷大的。
另一个例子是“无限维扭结”，即具有无限个坐标轴的扭结。这个扭结可以通过将每个坐标轴的范围限制在[-1,1]之间，并使用类似于扭曲的函数来定义每个坐标轴之间的关系来定义。同样，由于无限个坐标轴，扭结的测度也是无穷大的。
这些例子表明，一个流形的光滑性和测度之间的关系可以是非常复杂的，即使是在有限维的情况下。
更新于 2023年04月29日
