设An=(2n-1)!!，Bn=(2n)!!，那么n趋于无穷时，An/Bn有极限吗？
2023-06-27 阅读 98
当n趋于无穷大时，我们可以使用Stirling公式来近似计算阶乘的值。Stirling公式表示为：
n! ≈ √(2πn) * (n/e)^n
根据这个公式，我们可以得到：
(2n-1)!! ≈ √(2π(2n-1)) * ((2n-1)/e)^((2n-1)/2)
(2n)!! ≈ √(2π(2n)) * ((2n)/e)^(n)
然后我们可以计算An/Bn的极限：
lim(n→∞) (An/Bn)
= lim(n→∞) (((2n-1)!!)/((2n)!!))
≈ lim(n→∞) (√(2π(2n-1)) * ((2n-1)/e)^((2n-1)/2)) / (√(2π(2n)) * ((2n)/e)^(n))
= lim(n→∞) (√((2n-1)/(2n)) * ((2n-1)/2n)^((2n-1)/2) * (1/e)^(1/2))
= lim(n→∞) (√(1 - 1/(2n)) * ((1 - 1/(2n))^(n/2)) * (1/e)^(1/2))
= √(1) * (1^0) * (1/e)^(1/2)
= 1/e^(1/2)
≈ 0.60653
因此，当n趋于无穷大时，An/Bn的极限为0.60653。
更新于 2023年07月01日
