是否有f(x)，当x＞0和x→0时有lnf(x)-2x²f(x)＜-2ln2且x→0时f(x)→∞?
2024-12-04 阅读 11
我们可以考虑使用洛必达法则来解决这个问题。首先，我们设f(x) = e^(g(x))，则lnf(x) = g(x)。根据题目条件，我们有：
lnf(x) - 2x²f(x) ＜ -2ln2
化简得：
g(x) - 2x²e^(g(x)) ＜ -2ln2
接下来，我们观察x→0时的情况。由于f(x)→∞，所以g(x)也会趋向于正无穷。因此，我们可以将不等式左边的g(x)替换为正无穷，得到：
lim(x→0) (g(x) - 2x²e^(g(x))) ＜ -2ln2
然后我们对不等式两边同时取极限：
lim(x→0) g(x) - lim(x→0) 2x²e^(g(x)) ＜ -2ln2
由于g(x)→∞，所以lim(x→0) g(x) = +∞。而lim(x→0) 2x²e^(g(x)) = 0（可以通过洛必达法则求得）。因此，不等式左边趋向于正无穷，不满足条件。
因此，不存在这样的函数f(x)。
更新于 2024年12月07日
