如何求解当x趋近于0时的极限Ci(mx)-Ci(nx),以及Ci(x)-ln|x|?

2024-02-16 阅读 27

x趋近于0时,\text{Ci}(x)的定义为:

[\text{Ci}(x) = -\int_x^\infty \frac{\cos t}{t} dt]

所以,要求解\lim_{x\to 0} [\text{Ci}(mx) - \text{Ci}(nx)],我们可以先求出\text{Ci}(x)的导数:

[\frac{d}{dx}[\text{Ci}(x)] = -\frac{\cos x}{x}]

然后使用洛必达法则来求解极限:

[\lim_{x\to 0} [\text{Ci}(mx) - \text{Ci}(nx)] = \lim_{x\to 0} \int_x^\infty \frac{\cos mt - \cos nt}{t} dt]

[= \int_0^\infty \lim_{x\to 0} \frac{\cos mx - \cos nx}{x} dt]

[= \int_0^\infty (n\sin nt - m\sin mt) dt]

[= \frac{n^2 - m^2}{n^2 + m^2}]

对于\text{Ci}(x) - \ln|x|,我们可以先求出\text{Ci}(x)\ln|x|的导数:

[\frac{d}{dx}[\text{Ci}(x)] = -\frac{\cos x}{x}]

[\frac{d}{dx}[\ln|x|] = \frac{1}{x}]

然后计算\text{Ci}(x) - \ln|x|的导数:

[\frac{d}{dx}[\text{Ci}(x) - \ln|x|] = -\frac{\cos x}{x} - \frac{1}{x}]

最后,我们可以计算极限\lim_{x\to 0} [\text{Ci}(x) - \ln|x|],这个极限需要用到洛必达法则。

更新于 2024年11月16日