如何求解当x趋近于0时的极限Ci(mx)-Ci(nx)，以及Ci(x)-ln|x|?
2024-02-16 阅读 13
当$x$趋近于0时，$\text{Ci}(x)$的定义为：
\[\text{Ci}(x) = -\int_x^\infty \frac{\cos t}{t} dt\]
所以，要求解$\lim_{x\to 0} [\text{Ci}(mx) - \text{Ci}(nx)]$，我们可以先求出$\text{Ci}(x)$的导数：
\[\frac{d}{dx}[\text{Ci}(x)] = -\frac{\cos x}{x}\]
然后使用洛必达法则来求解极限：
\[\lim_{x\to 0} [\text{Ci}(mx) - \text{Ci}(nx)] = \lim_{x\to 0} \int_x^\infty \frac{\cos mt - \cos nt}{t} dt\]
\[= \int_0^\infty \lim_{x\to 0} \frac{\cos mx - \cos nx}{x} dt\]
\[= \int_0^\infty (n\sin nt - m\sin mt) dt\]
\[= \frac{n^2 - m^2}{n^2 + m^2}\]
对于$\text{Ci}(x) - \ln|x|$，我们可以先求出$\text{Ci}(x)$和$\ln|x|$的导数：
\[\frac{d}{dx}[\text{Ci}(x)] = -\frac{\cos x}{x}\]
\[\frac{d}{dx}[\ln|x|] = \frac{1}{x}\]
然后计算$\text{Ci}(x) - \ln|x|$的导数：
\[\frac{d}{dx}[\text{Ci}(x) - \ln|x|] = -\frac{\cos x}{x} - \frac{1}{x}\]
最后，我们可以计算极限$\lim_{x\to 0} [\text{Ci}(x) - \ln|x|]$，这个极限需要用到洛必达法则。
更新于 2024年11月16日
