lim ∑f(k/n)/n收敛，是否能得到f(x)在0到1处的瑕积分也收敛（其中0为f(x)的瑕点）?
2023-04-21 阅读 59
根据瑕积分的定义，要判断f(x)在0处的瑕积分是否收敛，需要计算以下积分：
∫₀¹ |f(x)|/x dx
我们可以将这个积分拆分成两个部分：
∫₀¹ |f(x)|/x dx = ∫₀⁺¹ |f(x)|/x dx + ∫₀⁻¹ |f(x)|/x dx
其中，∫₀⁺¹ |f(x)|/x dx表示积分的上限从0到1，∫₀⁻¹ |f(x)|/x dx表示积分的下限从0到-1。
现在我们来看第一个积分∫₀⁺¹ |f(x)|/x dx。由于f(x)在0处存在瑕点，我们可以将f(x)拆分成两个部分：
f(x) = g(x) + h(x)，其中g(x)是f(x)在0处的收敛部分，h(x)是f(x)在0处的瑕部分。
因为lim ∑f(k/n)/n收敛，所以我们知道lim ∑g(k/n)/n收敛。因此，存在一个正数M，使得当n足够大时，有：
∑_{k=1}ⁿ |g(k/n)| < M
又因为f(x)在0处存在瑕点，所以h(x)在0处发散。因此，存在一个正数ε，使得对于任意的δ>0，存在x∈(0,δ)，使得|h(x)|>ε。
现在我们可以将积分∫₀⁺¹ |f(x)|/x dx拆分成两个部分：
∫₀⁺¹ |f(x)|/x dx = ∫₀⁺¹ |g(x)|/x dx + ∫₀⁺¹ |h(x)|/x dx
对于第一个积分∫₀⁺¹ |g(x)|/x dx，我们可以使用比较定理：
∫₀⁺¹ |g(x)|/x dx ≤ ∫₀⁺¹ M/x dx = M ln(1/0) = ∞
因此，第一个积分∫₀⁺¹ |g(x)|/x dx发散。
对于第二个积分∫₀⁺¹ |h(x)|/x dx，我们可以使用柯西-施瓦茨不等式：
∫₀⁺¹ |h(x)|/x dx ≥ (∫₀ˣ |h(x)| dx)²/∫₀ˣ 1/x² dx
由于h(x)在0处有瑕点，因此∫₀ˣ |h(x)| dx在x趋近于0时发散。又因为f(x)在0处的瑕积分存在，所以∫₀ˣ 1/x² dx在x趋近于0时也发散。因此，第二个积分∫₀⁺¹ |h(x)|/x dx发散。
综上所述，我们无法得出f(x)在0到1处的瑕积分是否收敛。因此，不能根据lim ∑f(k/n)/n收敛就得出f(x)在0到1处的瑕积分也收敛的结论。
更新于 2023年04月22日
