如何证明eˣ>lnx+x²?

2023-08-11 阅读 92

要证明e^x > ln(x) + x^2,我们可以使用微积分的方法。首先,我们可以计算它们的导数,然后观察导数的变化情况。

令f(x) = e^x - ln(x) - x^2,我们需要证明f(x) > 0对于所有x > 0成立。

首先,计算f'(x)的导数:
f'(x) = e^x - 1/x - 2x

接下来,我们观察f'(x)的变化情况。注意到当x > 0时,e^x > 0,1/x > 0,2x > 0。因此,我们只需要考虑e^x - 1/x - 2x > 0是否成立。

我们可以计算f'(x)的二阶导数:
f''(x) = e^x + 1/x^2 - 2

注意到当x > 0时,e^x > 0,1/x^2 > 0。因此,f''(x) > 0对于所有x > 0成立。

根据f''(x) > 0,我们可以得出f'(x)是严格递增的。而且,当x趋近于0时,f'(x)趋近于负无穷大。因此,f'(x)只能有一个零点。

由于f'(x)只有一个零点,且f''(x) > 0,所以f'(x)在该零点处取得最小值。因此,f'(x) > 0对于所有x > 0成立。

综上所述,我们得出结论f(x) = e^x - ln(x) - x^2 > 0对于所有x > 0成立。因此,e^x > ln(x) + x^2对于所有x > 0成立。

这就证明了e^x > ln(x) + x^2对于所有x > 0成立。

更新于 2023年08月11日