如何证明eˣ＞lnx+x²?
2023-08-11 阅读 314
要证明e^x > ln(x) + x^2，我们可以使用微积分的方法。首先，我们可以计算它们的导数，然后观察导数的变化情况。
令f(x) = e^x - ln(x) - x^2，我们需要证明f(x) > 0对于所有x > 0成立。
首先，计算f'(x)的导数：
f'(x) = e^x - 1/x - 2x
接下来，我们观察f'(x)的变化情况。注意到当x > 0时，e^x > 0，1/x > 0，2x > 0。因此，我们只需要考虑e^x - 1/x - 2x > 0是否成立。
我们可以计算f'(x)的二阶导数：
f''(x) = e^x + 1/x^2 - 2
注意到当x > 0时，e^x > 0，1/x^2 > 0。因此，f''(x) > 0对于所有x > 0成立。
根据f''(x) > 0，我们可以得出f'(x)是严格递增的。而且，当x趋近于0时，f'(x)趋近于负无穷大。因此，f'(x)只能有一个零点。
由于f'(x)只有一个零点，且f''(x) > 0，所以f'(x)在该零点处取得最小值。因此，f'(x) > 0对于所有x > 0成立。
综上所述，我们得出结论f(x) = e^x - ln(x) - x^2 > 0对于所有x > 0成立。因此，e^x > ln(x) + x^2对于所有x > 0成立。
这就证明了e^x > ln(x) + x^2对于所有x > 0成立。
更新于 2023年08月11日
