马尔可夫不等式，如何证明?
2024-11-22 阅读 9
马尔可夫不等式是概率论中的一个重要不等式，用于描述随机变量的上界。设X是一个非负随机变量，即对于任意ω，有X(ω) ≥ 0。对于任意a > 0，有P(X ≥ a) ≤ E(X)/a，其中E(X)表示X的数学期望。
证明马尔可夫不等式的关键在于使用随机变量的定义和期望的性质。下面是马尔可夫不等式的证明过程：
设A是事件{X ≥ a}，则A的概率可以表示为P(A) = E(I_A)，其中I_A是指示函数，当X ≥ a时取值1，否则取值0。
根据期望的性质，有E(X) = E(X·I_A) = E(X·I_{X≥a}) = ∫_{X≥a} X(ω) dP(ω)。
由于X是非负随机变量，所以有X·I_{X≥a} ≤ X，即对任意ω，有X(ω)·I_{X≥a}(ω) ≤ X(ω)。
因此，对上式右边的积分不等式，有E(X) = E(X·I_{X≥a}) ≤ E(X)·P(X ≥ a)。
将上述不等式两边同时除以E(X)得到P(X ≥ a) ≤ E(X)/a，即马尔可夫不等式得证。
这样，我们就证明了马尔可夫不等式。这个不等式在概率论和统计学中有着广泛的应用，能够帮助我们估计随机变量的概率上界。
更新于 2024年11月24日
