如何优雅地证明Sum[…,{n,1,infinity}]>zeta(3)？
2024-11-25 阅读 12
证明 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} > \zeta(3)\) 的一个优雅方法是利用积分。我们知道 \(\zeta(3) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}\)，因此要证明不等式成立，我们可以考虑比较函数 \(f(x) = \frac{1}{x^3}\) 在区间 \([1, \infty)\) 上的积分与级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}\) 的大小关系。
首先，考虑函数 \(f(x) = \frac{1}{x^3}\) 在区间 \([1, \infty)\) 上的积分：
\[
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^3} dx = \left[ -\frac{1}{2x^2} \right]_{1}^{\infty} = \frac{1}{2}
\]
然后，考虑级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}\)：
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} = 1 + \frac{1}{8} + \frac{1}{27} + \ldots
\]
由比较判别法可知，级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}\) 的和大于函数 \(f(x) = \frac{1}{x^3}\) 在区间 \([1, \infty)\) 上的积分：
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} > \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^3} dx = \frac{1}{2}
\]
因此，我们得到 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} > \frac{1}{2} = \zeta(3)\)，即 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} > \zeta(3)\) 成立。
更新于 2024年11月26日
