如何优雅地证明Sum[…,{n,1,infinity}]>zeta(3)？
证明 (\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} > \zeta(3)) 的一个优雅方法是利用积分。我们知道 (\zeta(3) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3})，因此要证明不等式成立，我们可以考虑比较函数 (f(x) = \frac{1}{x^3}) 在区间 ([1, \infty)) 上的积分与级数 (\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}) 的大小关系。
首先，考虑函数 (f(x) = \frac{1}{x^3}) 在区间 ([1, \infty)) 上的积分：
[
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^3} dx = \left[ -\frac{1}{2x^2} \right]_{1}^{\infty} = \frac{1}{2}
]
然后，考虑级数 (\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3})：
[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} = 1 + \frac{1}{8} + \frac{1}{27} + \ldots
]
由比较判别法可知，级数 (\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}) 的和大于函数 (f(x) = \frac{1}{x^3}) 在区间 ([1, \infty)) 上的积分：
[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} > \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^3} dx = \frac{1}{2}
]
因此，我们得到 (\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} > \frac{1}{2} = \zeta(3))，即 (\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} > \zeta(3)) 成立。
