从整数1到n中随机选取k个不相同的整数，如何计算其最大值和最小值的期望？
2023-04-21 阅读 70
设最大值为M，最小值为m，我们可以考虑使用概率的加法原理和期望的线性性，将问题转化为计算每个可能的M和m的概率和期望。
首先，我们考虑计算选出的k个数中最大值为M的概率。这相当于从n个数中选出k个数，且这k个数中最大的数是M。因此，选出k个数中最大值为M的概率为：
P(M)=\frac{\binom{M-1}{k-1}}{\binom{n}{k}}
接下来，我们考虑计算选出的k个数中最小值为m的概率。这相当于从n个数中选出k个数，且这k个数中最小的数是m。因此，选出k个数中最小值为m的概率为：
P(m)=\frac{\binom{n-m}{k-1}}{\binom{n}{k}}
注意到当M<m+k-1时，最大值为m，最小值为m的情况是不可能出现的，因此这种情况下的概率为$0$。 因此，最大值为m，最小值为m的情况的概率为p(m,m)="P(M)-P(M+1)-\cdots-P(m+k-1)。根据期望的线性性，我们可以得到最大值和最小值的期望："
\begin{aligned}="" e(m)&="\sum_{M=k}^{n}" m\cdot="" p(m)\\="" &="\frac{1}{\binom{n}{k}}\sum_{M=k}^{n}" \binom{m-1}{k-1}\\="" \\="" \binom{n-m}{k-1}="" \end{aligned}
="" 因此，我们可以使用上述公式计算最大值和最小值的期望。<="" div="">更新于 2023年04月22日
</m+k-1时，最大值为m，最小值为m的情况是不可能出现的，因此这种情况下的概率为$0。>