∑1/|cos(n)|有没有比较好的估阶？
2024-02-15 阅读 90
对于给定的整数$n$，我们可以考虑$|cos(n)|$的取值范围。由于$|cos(n)|$的最大值为1，最小值为0，因此我们可以将$\sum \frac{1}{|cos(n)|}$拆分为两部分：
1. 当$|cos(n)| \geq \frac{1}{2}$时，有$\frac{1}{|cos(n)|} \leq 2$；
2. 当$0 \leq |cos(n)| < \frac{1}{2}$时，有$\frac{1}{|cos(n)|} \geq 2$。
因此，我们可以得到以下估计：
$$\sum \frac{1}{|cos(n)|} \leq 2N + 2\sum_{|cos(n)| < \frac{1}{2}} 1$$
其中$N$为满足$|cos(n)| \geq \frac{1}{2}$的整数个数。由于$|cos(n)| < \frac{1}{2}$的整数$n$是稠密分布的，因此第二部分的和可以估计为$O(\frac{N}{2})$。因此，$\sum \frac{1}{|cos(n)|}$的估计可以近似为$O(N)$。
更新于 2024年04月12日
