如何证明3能被4ⁿ-1整除（高中知识）?
2024-12-14 阅读 7
要证明3能被4^n - 1整除，我们可以利用数学归纳法来证明。
首先，当n=1时，我们有4^1 - 1 = 3，显然3能被3整除。
接着，假设当n=k时，3能够被4^k - 1整除，即存在一个整数m，使得3 = m(4^k - 1)。
我们来看当n=k+1时，即证明3能被4^(k+1) - 1整除。
我们有：
4^(k+1) - 1 = 4*4^k - 1 = 4*(4^k - 1) + 3
根据我们的假设，4^k - 1能被3整除，所以存在整数m，使得4^k - 1 = 3m。代入上式得：
4^(k+1) - 1 = 4*(3m) + 3 = 3(4m + 1)
因此，当n=k+1时，3也能被4^(k+1) - 1整除。
由数学归纳法可知，对于所有正整数n，3都能被4^n - 1整除。
更新于 2024年12月14日
