n是自然数，n(n+1)总能整除12(n+2)(n+3)吗？
2023-04-23 阅读 59
我们可以将12(n+2)(n+3)分解质因数，得到：
12(n+2)(n+3) = 2^2 * 3 * (n+2) * (n+3)
由于n和n+1是相邻的自然数，它们中必有一个是偶数，因此n(n+1)必定是2的倍数。又因为n和n+1是相邻的自然数，它们中必有一个是奇数，因此n(n+1)必定是3的倍数。所以n(n+1)一定能够整除2^2 * 3。
我们再来看(n+2)和(n+3)。由于它们相差1，因此它们中必有一个是偶数，一个是奇数。如果n是偶数，那么n+2也是偶数，n+3也是奇数；如果n是奇数，那么n+2是奇数，n+3是偶数。无论哪种情况，(n+2)和(n+3)中必有一个是偶数，一个是奇数，因此它们的乘积一定能够整除2^2。
综上所述，n(n+1)一定能够整除2^2 * 3，(n+2)(n+3)一定能够整除2^2，因此n(n+1)一定能够整除12(n+2)(n+3)。
更新于 2023年04月29日
