Sn=sin(nx)/√n一致收敛吗?
2023-05-11 阅读 145
我们可以使用Weierstrass判别法来判断该级数是否一致收敛。
考虑函数序列fn(x) = sin(nx)/√n，我们需要证明以下两点：
1. 对于任意的x，函数序列fn(x)在区间[0,1]上一致有界。
2. 函数序列fn(x)在区间[0,1]上一致收敛于0。
对于第一点，我们有：
|sin(nx)/√n| <= 1/√n
因此，对于任意的x∈[0,1]，有：
|fn(x)| <= 1/√n
因此，函数序列fn(x)在区间[0,1]上一致有界。
对于第二点，我们可以使用Dirichlet判别法。设an(x) = sin(nx)，bn(x) = 1/√n，则有：
|∑an(x)| <= 1
|∑bn(x)| <= ∑1/√n
由于∑1/√n是收敛的，因此根据Dirichlet判别法，函数序列fn(x)在区间[0,1]上一致收敛。
因此，原级数Sn=sin(nx)/√n在区间[0,1]上一致收敛。
更新于 2023年05月14日
