正切函数平方后的部分分式形式的无穷级数展开公式怎么证明？
2023-04-21 阅读 44
正切函数的平方可以表示为：
$$\tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} - 1$$
我们可以将其改写为：
$$\tan^2(x) = \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)} - 1$$
两边同时乘以 $\cos^2(x)$，得到：
$$\sin^2(x) = \cos^2(x) \cdot (\frac{1}{\cos^2(x)} - 1) = 1 - \cos^2(x)$$
因此，我们可以将正切函数的平方表示为：
$$\tan^2(x) = \frac{\sin^2(x)}{1 - \cos^2(x)}$$
接下来，我们可以将 $\frac{1}{1 - \cos^2(x)}$ 展开成无穷级数形式。根据公式：
$$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty}x^n$$
我们可以将其带入上式，得到：
$$\tan^2(x) = \frac{\sin^2(x)}{1 - \cos^2(x)} = \frac{\sin^2(x)}{\sin^2(x)} \cdot \sum_{n=0}^{\infty}(\cos^2(x))^n = \sum_{n=0}^{\infty}\cos^{2n}(x)$$
因此，我们得到了正切函数平方的部分分式形式的无穷级数展开公式。
更新于 2023年04月25日
