xsinx/(x+sinx)²的不定积分怎么求？
2023-12-07 阅读 45
要求解不定积分∫(xsinx/(x+sinx)²)dx，我们可以尝试使用部分分式分解和换元法来解决。
首先，我们将被积函数中的分母进行分解。设分解后的形式为：
1/(x+sinx)² = A/(x+sinx) + B/(x+sinx)²
将这个等式两边通分，得到：
1 = A(x+sinx) + B
接下来，我们可以通过代入适当的值来确定A和B的值。我们可以选择让x等于0和π，这样sinx的值都为0。代入后得到两个方程：
当x=0时，1 = A(0+sin0) + B，化简得到 B = 1
当x=π时，1 = A(π+sinπ) + B，化简得到 A = -1/π
将A和B的值代回到原始的被积函数中，得到：
xsinx/(x+sinx)² = (-1/π)/(x+sinx) + 1/(x+sinx)²
现在，我们可以对每一项分别进行积分。对第一项 (-1/π)/(x+sinx) 进行积分得到 -ln|x+sinx|/π。
对第二项 1/(x+sinx)² 进行积分，可以通过令u = x + sinx来进行换元。我们有du = (1+cosx)dx。将du代入积分式中，得到 ∫1/u² du = -1/u。将u代回到原来的变量，得到 -1/(x+sinx)。
综上所述，原不定积分∫(xsinx/(x+sinx)²)dx的结果为：
-ln|x+sinx|/π - 1/(x+sinx) + C
其中C为积分常数。
更新于 2023年12月08日
