能否不借助高阶导数，只依赖sinx的泰勒展开，求出arcsinx的泰勒展开?
2024-11-26 阅读 11
当我们要求arcsinx的泰勒展开时，我们可以利用sinx的泰勒展开公式来推导。首先，我们知道sinx的泰勒展开为：
\[ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \]
我们希望找到arcsinx的泰勒展开形式。我们可以假设
\[ y = \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \]
接下来，我们希望找到arcsinx的泰勒展开形式，即找到一个关于y的级数展开。我们可以通过求导来得到arcsinx的泰勒展开。首先，我们对等式两边取arcsin，得到：
\[ \arcsin y = x - \frac{x^3}{3 \cdot 3!} + \frac{x^5}{5 \cdot 5!} - \frac{x^7}{7 \cdot 7!} + \cdots \]
接着，我们可以将x用y的泰勒展开形式代入，得到arcsinx的泰勒展开形式：
\[ \arcsin y = y + \frac{y^3}{3 \cdot 3!} + \frac{y^5}{5 \cdot 5!} + \frac{y^7}{7 \cdot 7!} + \cdots \]
这样，我们就得到了arcsinx的泰勒展开形式，只依赖于sinx的泰勒展开而不需要高阶导数。
更新于 2024年11月27日
