当我们要求arcsinx的泰勒展开时,我们可以利用sinx的泰勒展开公式来推导。首先,我们知道sinx的泰勒展开为:
[ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots ]
我们希望找到arcsinx的泰勒展开形式。我们可以假设
[ y = \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots ]
接下来,我们希望找到arcsinx的泰勒展开形式,即找到一个关于y的级数展开。我们可以通过求导来得到arcsinx的泰勒展开。首先,我们对等式两边取arcsin,得到:
[ \arcsin y = x - \frac{x^3}{3 \cdot 3!} + \frac{x^5}{5 \cdot 5!} - \frac{x^7}{7 \cdot 7!} + \cdots ]
接着,我们可以将x用y的泰勒展开形式代入,得到arcsinx的泰勒展开形式:
[ \arcsin y = y + \frac{y^3}{3 \cdot 3!} + \frac{y^5}{5 \cdot 5!} + \frac{y^7}{7 \cdot 7!} + \cdots ]
这样,我们就得到了arcsinx的泰勒展开形式,只依赖于sinx的泰勒展开而不需要高阶导数。