耦合单摆的理论是怎么推导出来的？
2023-04-22 阅读 68
耦合单摆是由两个单摆通过一根细线连接在一起组成的系统。其理论推导可以分为以下几个步骤：
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对于单摆，可以利用牛顿第二定律和重力势能的定义，得到单摆的运动方程：\ddot{\theta}+\frac{g}{l}\sin\theta=0，其中\theta为单摆摆角，g为重力加速度，l为单摆长度。
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对于耦合单摆，可以将两个单摆的运动方程写成如下形式：
\begin{cases} \ddot{\theta_1}+\frac{g}{l}\sin\theta_1=k(\theta_2-\theta_1) \\ \ddot{\theta_2}+\frac{g}{l}\sin\theta_2=k(\theta_1-\theta_2) \end{cases}
其中k为耦合强度系数。
- 将上述两个方程相加和相减，得到如下方程组：
\begin{cases} \ddot{\theta_1}+\ddot{\theta_2}+\frac{2g}{l}(\sin\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\cos\frac{\theta_1-\theta_2}{2})=0 \\ \ddot{\theta_1}-\ddot{\theta_2}+\frac{2g}{l}(\sin\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\sin\frac{\theta_1-\theta_2}{2})=2k(\theta_1-\theta_2) \end{cases}
- 对上述方程组进行线性化，假设\theta_1和\theta_2的摆角都很小，可以将\sin\theta和\cos\theta在\theta=0处进行泰勒展开，保留一阶项，得到如下线性方程组：
\begin{cases} \ddot{\theta_1}+\ddot{\theta_2}+\frac{g}{l}(\theta_1+\theta_2)=0 \\ \ddot{\theta_1}-\ddot{\theta_2}+\frac{g}{l}(\theta_1-\theta_2)+2k(\theta_1-\theta_2)=0 \end{cases}
- 将上述方程组进行变量替换，得到如下矩阵形式的方程组：
\begin{pmatrix} \ddot{\theta_1} \\ \ddot{\theta_2} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \frac{g}{l} & \frac{g}{l} \\ \frac{g}{l} & -\frac{g}{l}+2k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \theta_1 \\ \theta_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
- 对上述方程组进行求解，得到两个特征频率和两个特征向量，从而得到耦合单摆的运动规律。
以上就是耦合单摆的理论推导过程。
更新于 2023年04月27日
