耦合单摆的理论是怎么推导出来的？
2023-04-22 阅读 53
耦合单摆是由两个单摆通过一根细线连接在一起组成的系统。其理论推导可以分为以下几个步骤：
1. 对于单摆，可以利用牛顿第二定律和重力势能的定义，得到单摆的运动方程：$\ddot{\theta}+\frac{g}{l}\sin\theta=0$，其中$\theta$为单摆摆角，$g$为重力加速度，$l$为单摆长度。
2. 对于耦合单摆，可以将两个单摆的运动方程写成如下形式：
$$\begin{cases} \ddot{\theta_1}+\frac{g}{l}\sin\theta_1=k(\theta_2-\theta_1) \\ \ddot{\theta_2}+\frac{g}{l}\sin\theta_2=k(\theta_1-\theta_2) \end{cases}$$
其中$k$为耦合强度系数。
3. 将上述两个方程相加和相减，得到如下方程组：
$$\begin{cases} \ddot{\theta_1}+\ddot{\theta_2}+\frac{2g}{l}(\sin\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\cos\frac{\theta_1-\theta_2}{2})=0 \\ \ddot{\theta_1}-\ddot{\theta_2}+\frac{2g}{l}(\sin\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\sin\frac{\theta_1-\theta_2}{2})=2k(\theta_1-\theta_2) \end{cases}$$
4. 对上述方程组进行线性化，假设$\theta_1$和$\theta_2$的摆角都很小，可以将$\sin\theta$和$\cos\theta$在$\theta=0$处进行泰勒展开，保留一阶项，得到如下线性方程组：
$$\begin{cases} \ddot{\theta_1}+\ddot{\theta_2}+\frac{g}{l}(\theta_1+\theta_2)=0 \\ \ddot{\theta_1}-\ddot{\theta_2}+\frac{g}{l}(\theta_1-\theta_2)+2k(\theta_1-\theta_2)=0 \end{cases}$$
5. 将上述方程组进行变量替换，得到如下矩阵形式的方程组：
$$\begin{pmatrix} \ddot{\theta_1} \\ \ddot{\theta_2} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \frac{g}{l} & \frac{g}{l} \\ \frac{g}{l} & -\frac{g}{l}+2k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \theta_1 \\ \theta_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
6. 对上述方程组进行求解，得到两个特征频率和两个特征向量，从而得到耦合单摆的运动规律。
以上就是耦合单摆的理论推导过程。
更新于 2023年04月27日
