怎么算这个比较复杂的定积分？
2023-04-21 阅读 60
计算复杂的定积分需要掌握一定的数学知识和技巧。以下是一个计算定积分的一般步骤：
- 确定积分区间和被积函数。
- 判断被积函数是否连续或可分解成连续函数的和或积。
- 根据被积函数的性质选择适当的积分方法，如换元法、分部积分法、三角函数代换法、分式分解法等。
- 进行积分计算，并对积分常数进行确定。
举个例子，如果要计算定积分 \int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx，可以采用以下步骤：
- 积分区间为 [0,1]，被积函数为 \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}。
- 被积函数 \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} 在积分区间 [0,1] 上连续，可以直接进行积分。
- 采用换元法，令 x=\sin t，则 dx=\cos t dt，被积函数变为 \frac{\sin^2 t}{\cos t}=\sin t\cdot \frac{\sin t}{\cos t}=\sin t\cdot \tan t。
- 将积分区间 [0,1] 转化为 [0,\frac{\pi}{2}]，积分式变为 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t\cdot \tan t dt。采用分部积分法，令 u=\sin t，dv=\tan t dt，则 du=\cos t dt，v=\ln|\sec t|=-\ln|\cos t|。积分式变为 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t\cdot \tan t dt=\left[-\sin t\ln|\cos t|\right]_0^{\frac{\pi}{2}}+\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos t\ln|\cos t| dt。
- 计算 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos t\ln|\cos t| dt，采用分部积分法，令 u=\ln|\cos t|，dv=\cos t dt，则 du=-\tan t dt，v=\sin t。积分式变为 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos t\ln|\cos t| dt=\left[\sin t\ln|\cos t|\right]_0^{\frac{\pi}{2}}+\int_0^{\frac{\pi}{2}} \tan t dt。
- 计算 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \tan t dt，采用换元法，令 u=\ln|\cos t|，则 du=-\tan t dt，积分式变为 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \tan t dt=\int_{-\infty}^0 e^u du=-\left[e^u\right]_{-\infty}^0=1。
- 将步骤 4 和步骤 6 的结果代入积分式，得到 \int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx=\left[-\sin t\ln|\cos t|\right]_0^{\frac{\pi}{2}}+\left[\sin t\ln|\cos t|\right]_0^{\frac{\pi}{2}}+\left[1\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}。
因此，定积分 \int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx=\frac{\pi}{2}。
更新于 2023年04月24日
