怎么算这个比较复杂的定积分？
2023-04-21 阅读 44
计算复杂的定积分需要掌握一定的数学知识和技巧。以下是一个计算定积分的一般步骤：
1. 确定积分区间和被积函数。
2. 判断被积函数是否连续或可分解成连续函数的和或积。
3. 根据被积函数的性质选择适当的积分方法，如换元法、分部积分法、三角函数代换法、分式分解法等。
4. 进行积分计算，并对积分常数进行确定。
举个例子，如果要计算定积分 $\int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx$，可以采用以下步骤：
1. 积分区间为 $[0,1]$，被积函数为 $\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$。
2. 被积函数 $\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$ 在积分区间 $[0,1]$ 上连续，可以直接进行积分。
3. 采用换元法，令 $x=\sin t$，则 $dx=\cos t dt$，被积函数变为 $\frac{\sin^2 t}{\cos t}=\sin t\cdot \frac{\sin t}{\cos t}=\sin t\cdot \tan t$。
4. 将积分区间 $[0,1]$ 转化为 $[0,\frac{\pi}{2}]$，积分式变为 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t\cdot \tan t dt$。采用分部积分法，令 $u=\sin t$，$dv=\tan t dt$，则 $du=\cos t dt$，$v=\ln|\sec t|=-\ln|\cos t|$。积分式变为 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t\cdot \tan t dt=\left[-\sin t\ln|\cos t|\right]_0^{\frac{\pi}{2}}+\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos t\ln|\cos t| dt$。
5. 计算 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos t\ln|\cos t| dt$，采用分部积分法，令 $u=\ln|\cos t|$，$dv=\cos t dt$，则 $du=-\tan t dt$，$v=\sin t$。积分式变为 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos t\ln|\cos t| dt=\left[\sin t\ln|\cos t|\right]_0^{\frac{\pi}{2}}+\int_0^{\frac{\pi}{2}} \tan t dt$。
6. 计算 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \tan t dt$，采用换元法，令 $u=\ln|\cos t|$，则 $du=-\tan t dt$，积分式变为 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \tan t dt=\int_{-\infty}^0 e^u du=-\left[e^u\right]_{-\infty}^0=1$。
7. 将步骤 4 和步骤 6 的结果代入积分式，得到 $\int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx=\left[-\sin t\ln|\cos t|\right]_0^{\frac{\pi}{2}}+\left[\sin t\ln|\cos t|\right]_0^{\frac{\pi}{2}}+\left[1\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}$。
因此，定积分 $\int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx=\frac{\pi}{2}$。
更新于 2023年04月24日
