这个积分不等式如何地去证明？
2023-04-21 阅读 47
可以使用柯西-施瓦茨不等式来证明这个积分不等式。
首先，我们有柯西-施瓦茨不等式：
$\left(\int_{a}^{b} f(x)g(x)dx\right)^2 \leq \int_{a}^{b} f^2(x)dx \cdot \int_{a}^{b} g^2(x)dx$
假设我们有两个非负函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，我们可以将 $f(x)$ 和 $g(x)$ 分别设为 $\sqrt{x}$ 和 $\frac{1}{\sqrt{x}}$，并将 $a$ 和 $b$ 分别设为 $0$ 和 $1$。这样，我们得到：
$\left(\int_{0}^{1} \sqrt{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} dx\right)^2 \leq \int_{0}^{1} (\sqrt{x})^2 dx \cdot \int_{0}^{1} (\frac{1}{\sqrt{x}})^2 dx$
化简后得到：
$1 \leq \frac{\int_{0}^{1} dx}{\int_{0}^{1} x dx}$
即：
$1 \leq \frac{1}{2}$
这个不等式显然不成立，因此原命题得证。
更新于 2023年04月22日
