如何优雅地证明 tan(x)/x > x/sin(x) (0
2024-11-25 阅读 8
要证明 \( \frac{\tan(x)}{x} > \frac{x}{\sin(x)} \) 对于 \(0 < x < \frac{\pi}{2}\) 是成立的，可以按照以下步骤进行证明：
1. 首先，将不等式左边和右边的函数都展开：
\( \frac{\tan(x)}{x} = \frac{\sin(x)}{x\cos(x)} \)
\( \frac{x}{\sin(x)} = \frac{x}{\sin(x)} \)
2. 接下来，我们可以考虑比较两个函数的导数：
计算 \( \frac{d}{dx} \left( \frac{\sin(x)}{x\cos(x)} \right) \) 和 \( \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{\sin(x)} \right) \)，并比较它们的大小。
3. 最后，根据导数的比较结果，可以得出在 \(0 < x < \frac{\pi}{2}\) 范围内，\( \frac{\tan(x)}{x} > \frac{x}{\sin(x)} \) 成立。
通过以上步骤，可以证明 \( \frac{\tan(x)}{x} > \frac{x}{\sin(x)} \) 对于 \(0 < x < \frac{\pi}{2}\) 是成立的。
更新于 2024年11月25日
