如何证明|cosx|+|cos2x|+……+cos|(n+1)x|≥n/2？
2025-01-03 阅读 14
要证明这个不等式，我们可以利用三角不等式和绝对值不等式。首先，我们知道对于任意实数a，|a| ≤ |a| + |b|，根据这个性质，我们可以得到：
|cosx| + |cos2x| + … + |cos(nx)| ≥ |cosx + cos2x + … + cos(nx)|
接下来，我们可以利用三角恒等式cos(a) + cos(b) = 2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)来简化右边的绝对值，得到：
|cosx + cos2x + … + cos(nx)| = |2cos((1+x)/2)sin(nx/2)|
再利用绝对值不等式|sinθ| ≤ |θ|，我们可以得到：
|2cos((1+x)/2)sin(nx/2)| ≤ 2|(1+x)/2||nx/2| = |n(1+x)|
最后，我们将上式代回原不等式，得到：
|cosx| + |cos2x| + … + |cos(nx)| ≥ |n(1+x)| = n|1+x| ≥ n/2
因此，我们证明了不等式|cosx| + |cos2x| + … + |cos(nx)| ≥ n/2。
更新于 2025年01月03日
