切比雪夫定理，如何证明?
2024-11-23 阅读 12
切比雪夫不等式是概率论中的一个重要定理，它可以用来估计随机变量与其均值的偏离程度。切比雪夫不等式的数学表达式为：对于任意一个随机变量X，其期望值为μ，方差为σ^2，那么对于任意大于0的ε，有P(|X-μ| ≥ ε) ≤ σ^2/ε^2。
证明切比雪夫不等式的关键在于使用马尔可夫不等式。马尔可夫不等式是概率论中的一个基本不等式，它表明了一个非负随机变量与其期望值的关系。具体而言，对于一个非负随机变量X和任意大于0的t，有P(X ≥ t) ≤ E(X)/t。
利用马尔可夫不等式，我们可以证明切比雪夫不等式。首先，我们定义一个新的随机变量Y = (X-μ)^2，即Y表示随机变量X与其期望值的偏离程度的平方。根据马尔可夫不等式，对于任意大于0的ε，有P(Y ≥ ε^2) ≤ E(Y)/ε^2。
由于Y = (X-μ)^2，我们可以得到E(Y) = E((X-μ)^2) = σ^2，即Y的期望值等于X的方差。将这个结果代入马尔可夫不等式中，我们得到P((X-μ)^2 ≥ ε^2) ≤ σ^2/ε^2。
最后，我们注意到P(|X-μ| ≥ ε) = P((X-μ)^2 ≥ ε^2)，因此我们得到了切比雪夫不等式：对于任意一个随机变量X，其期望值为μ，方差为σ^2，那么对于任意大于0的ε，有P(|X-μ| ≥ ε) ≤ σ^2/ε^2。
更新于 2024年11月25日
