如何用Zorn引理证明定理——任何一个数域上的任一线性空间都有一个基？
2024-02-15 阅读 102
要使用Zorn引理证明这个定理，首先需要定义一个偏序集合。我们可以定义一个偏序集合为所有线性空间的子空间的集合，其中偏序关系定义为包含关系。接下来，我们需要证明这个偏序集合的每一个链（即全序子集）都有一个上界。
然后，我们需要应用Zorn引理，它陈述了任何一个非空偏序集合中，如果每一个全序子集都有一个上界，那么这个偏序集合中必定存在一个极大元素。
最后，我们需要证明这个极大元素就是我们要找的基。这是因为如果这个极大元素不是一个基，那么我们可以找到一个不在它生成的子空间中的向量，将这个向量加入到这个极大元素生成的子空间中，从而得到一个比这个极大元素更大的元素，这与极大元素的定义相矛盾。
因此，根据Zorn引理，我们可以证明任何一个数域上的任一线性空间都有一个基。
更新于 2024年04月13日
