柯西-施瓦茨不等式(数学名词)，如何证明?
2024-11-22 阅读 12
柟西-施瓦茨不等式是数学中的一个重要不等式，用于描述内积空间中向量的内积。这个不等式可以用来证明许多其他数学定理和不等式。下面是柯西-施瓦茨不等式的证明：
假设有两个向量a和b，它们在内积空间中的内积记为(a, b)。根据柯西-施瓦茨不等式，我们有：
|(a, b)| ≤ ||a|| * ||b||
其中||a||和||b||分别表示向量a和b的范数（长度）。现在我们来证明这个不等式。
考虑向量a - λb，其中λ是一个实数。我们可以将这个向量表示为：
||a - λb||² = (a - λb, a - λb)
展开得到：
||a - λb||² = (a, a) - 2λ(a, b) + λ²(b, b)
这是一个关于λ的二次函数，对于实数λ，它的值要么大于等于零，要么小于等于零。因此，这个二次函数的判别式必须小于等于零：
4(a, b)² - 4(a, a)(b, b) ≤ 0
化简得到：
(a, b)² ≤ ||a||² * ||b||²
取平方根得到柯西-施瓦茨不等式：
|(a, b)| ≤ ||a|| * ||b||
这样就完成了柯西-施瓦茨不等式的证明。
更新于 2024年11月24日
