如何求证函数的等效面积和等效带宽成反比?
2023-06-22 阅读 35
要证明函数的等效面积和等效带宽成反比，需要先定义什么是等效面积和等效带宽。
等效面积是指一个函数的面积与其最大值之比，即$A_e = \frac{1}{f_{max}} \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)| dx$，其中$f_{max}$是函数$f(x)$的最大值。
等效带宽是指一个函数的带宽宽度与其最大频率之比，即$B_e = \frac{1}{f_{max}} \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2 dx$，其中$f_{max}$是函数$f(x)$的最大频率。
现在考虑证明等效面积和等效带宽成反比。假设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的等效面积分别为$A_{e,f}$和$A_{e,g}$，等效带宽分别为$B_{e,f}$和$B_{e,g}$。我们要证明的是$A_{e,f} \cdot B_{e,f} = A_{e,g} \cdot B_{e,g}$。
首先，根据等效面积的定义，有：
$$A_{e,f} = \frac{1}{f_{max,f}} \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)| dx$$
$$A_{e,g} = \frac{1}{f_{max,g}} \int_{-\infty}^{\infty} |g(x)| dx$$
其中$f_{max,f}$和$f_{max,g}$分别是函数$f(x)$和$g(x)$的最大值。
接下来，根据等效带宽的定义，有：
$$B_{e,f} = \frac{1}{f_{max,f}} \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2 dx$$
$$B_{e,g} = \frac{1}{f_{max,g}} \int_{-\infty}^{\infty} |g(x)|^2 dx$$
将等式左右两边相乘，得到：
$$A_{e,f} \cdot B_{e,f} = \frac{1}{f_{max,f}} \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)| dx \cdot \frac{1}{f_{max,f}} \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2 dx$$
$$A_{e,g} \cdot B_{e,g} = \frac{1}{f_{max,g}} \int_{-\infty}^{\infty} |g(x)| dx \cdot \frac{1}{f_{max,g}} \int_{-\infty}^{\infty} |g(x)|^2 dx$$
将上述两个等式分别除以$A_{e,f} \cdot B_{e,g}$，得到：
$$\frac{A_{e,f} \cdot B_{e,f}}{A_{e,g} \cdot B_{e,g}} = \frac{\frac{1}{f_{max,f}} \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)| dx \cdot \frac{1}{f_{max,f}} \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2 dx}{\frac{1}{f_{max,g}} \int_{-\infty}^{\infty} |g(x)| dx \cdot \frac{1}{f_{max,g}} \int_{-\infty}^{\infty} |g(x)|^2 dx}$$
化简上式，得到：
$$\frac{A_{e,f} \cdot B_{e,f}}{A_{e,g} \cdot B_{e,g}} = \frac{\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)| dx \cdot \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2 dx}{\int_{-\infty}^{\infty} |g(x)| dx \cdot \int_{-\infty}^{\infty} |g(x)|^2 dx}$$
根据柯西-施瓦茨不等式，有：
$$(\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)| dx)^2 \leq \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2 dx \cdot \int_{-\infty}^{\infty} dx = \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2 dx$$
$$(\int_{-\infty}^{\infty} |g(x)| dx)^2 \leq \int_{-\infty}^{\infty} |g(x)|^2 dx \cdot \int_{-\infty}^{\infty} dx = \int_{-\infty}^{\infty} |g(x)|^2 dx$$
将上述两个不等式代入上式，得到：
$$\frac{A_{e,f} \cdot B_{e,f}}{A_{e,g} \cdot B_{e,g}} \geq \frac{\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)| dx \cdot \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2 dx}{\int_{-\infty}^{\infty} |g(x)| dx \cdot \int_{-\infty}^{\infty} |g(x)|^2 dx} \geq \frac{1}{1} = 1$$
因此，$A_{e,f} \cdot B_{e,f} \geq A_{e,g} \cdot B_{e,g}$，即等效面积和等效带宽成反比。
更新于 2023年06月22日
