如何证明不等式2e^(x²/4)≥e^(x/2)+e^(-x/2)？
2024-12-04 阅读 14
要证明不等式 \(2e^{x^2/4} \geq e^{x/2} + e^{-x/2}\)，我们可以先对不等式两边取自然对数，即对数函数是一个单调递增函数，所以不等式的方向不变：
\(\ln(2e^{x^2/4}) \geq \ln(e^{x/2} + e^{-x/2})\)
化简得：
\(\ln 2 + \frac{x^2}{4} \geq \ln(e^{x/2} + e^{-x/2})\)
接下来，我们可以对右边的对数进行进一步展开：
\(\ln 2 + \frac{x^2}{4} \geq \ln(e^{x/2}e^{-x/2} + e^{x/2}e^{-x/2})\)
\(\ln 2 + \frac{x^2}{4} \geq \ln(2\cosh(x/2))\)
然后，我们可以继续化简不等式：
\(\ln 2 + \frac{x^2}{4} \geq \ln(2\cosh(x/2))\)
\(\ln 2 + \frac{x^2}{4} \geq \ln 2 + \ln\cosh(x/2)\)
\(\frac{x^2}{4} \geq \ln\cosh(x/2)\)
最后，我们可以证明 \(\ln\cosh(x/2) \leq \frac{x^2}{4}\)。这可以通过对 \(\ln\cosh(x/2)\) 求导并证明其导数小于等于 \(\frac{x}{2}\) 来完成。
更新于 2024年12月07日
