怎么证明长方体内接三棱锥体积最大为长方体体积1/6？
2023-05-18 阅读 35
我们可以使用数学方法来证明长方体内接三棱锥体积最大为长方体体积的1/6。
首先，我们可以将长方体看作一个坐标系中的立方体，其中一个顶点为原点，且长、宽、高分别为 $a$、$b$、$c$。三棱锥的底面为长方体的底面，且三棱锥的顶点位于长方体的对角线上，如下图所示：
设三棱锥的顶点坐标为 $(x,y,z)$，则三棱锥的底面是一个等腰直角三角形，底边长为 $\sqrt{x^2+y^2}$，高为 $z$。因此，三棱锥的体积为：
$$V = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \sqrt{x^2+y^2} \times z^2$$
由于三棱锥的顶点位于长方体的对角线上，因此有 $x^2+y^2+z^2=a^2+b^2+c^2$。我们可以将 $z$ 表示为 $z=\sqrt{a^2+b^2+c^2-x^2-y^2}$，代入上式中得到：
$$V = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \sqrt{x^2+y^2} \times (\sqrt{a^2+b^2+c^2-x^2-y^2})^2$$
化简得到：
$$V = \frac{1}{6} \times (a^2+b^2+c^2) \times \sqrt{x^2+y^2} - \frac{1}{6} \times (x^2+y^2) \times \sqrt{a^2+b^2+c^2-x^2-y^2}$$
要证明长方体内接三棱锥体积最大为长方体体积的1/6，即要证明上式的最大值为 $(1/6)abc$。
我们可以使用偏导数的方法求解上式的最大值。对 $V$ 求关于 $x$ 的偏导数和关于 $y$ 的偏导数，得到：
$$\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{1}{6} \times \frac{a^2+b^2-c^2-x^2-y^2}{\sqrt{y^2+x^2}}$$
$$\frac{\partial V}{\partial y} = \frac{1}{6} \times \frac{a^2-b^2+c^2-x^2-y^2}{\sqrt{y^2+x^2}}$$
令偏导数等于 0，解得 $x=0$，$y=0$。因此，三棱锥的顶点位于长方体的中心，即三棱锥为长方体的内切三棱锥。
将 $x=0$，$y=0$ 代入原式得到：
$$V = \frac{1}{6} \times (a^2+b^2+c^2) \times \sqrt{0^2+0^2} - \frac{1}{6} \times (0^2+0^2) \times \sqrt{a^2+b^2+c^2-0^2-0^2} = \frac{1}{6}abc$$
因此，长方体内接三棱锥体积最大为长方体体积的1/6，证毕。
更新于 2023年05月24日
