一个粒子在两个势场中运动且都处于束缚态，V1(x)≤V2(x)处处成立，怎么证明能级En1≤En2？
2024-03-13 阅读 26
根据量子力学中的束缚态问题，粒子的能级是由薛定谔方程的解决定的。对于两个不同的势场V_1(x)和V_2(x)，假设粒子在这两个势场中的波函数分别为\psi_1(x)和\psi_2(x)，对应的能级分别为E_{n1}和E_{n2}。
我们知道，对于束缚态问题，能级E_{n1}和E_{n2}是离散的，且满足薛定谔方程：
\hat{H}\psi_1(x) = E_{n1}\psi_1(x)
\hat{H}\psi_2(x) = E_{n2}\psi_2(x)
其中，\hat{H}是哈密顿算符。
由于V_1(x) \leq V_2(x)，根据薛定谔方程的性质，我们可以得出：
\hat{H}\psi_1(x) \leq \hat{H}\psi_2(x)
即
E_{n1}\psi_1(x) \leq E_{n2}\psi_2(x)
两边同时乘以\psi_1^*(x)并对整个空间积分，得到：
E_{n1} \leq E_{n2}
因此，根据薛定谔方程和势能的大小关系，我们可以证明对于处于两个不同势场中的粒子，其能级E_{n1}一定小于等于E_{n2}。
更新于 2024年11月21日
