一个粒子在两个势场中运动且都处于束缚态，V1(x)≤V2(x)处处成立，怎么证明能级En1≤En2？
2024-03-13 阅读 14
根据量子力学中的束缚态问题，粒子的能级是由薛定谔方程的解决定的。对于两个不同的势场$V_1(x)$和$V_2(x)$，假设粒子在这两个势场中的波函数分别为$\psi_1(x)$和$\psi_2(x)$，对应的能级分别为$E_{n1}$和$E_{n2}$。
我们知道，对于束缚态问题，能级$E_{n1}$和$E_{n2}$是离散的，且满足薛定谔方程：
$$
\hat{H}\psi_1(x) = E_{n1}\psi_1(x)
$$
$$
\hat{H}\psi_2(x) = E_{n2}\psi_2(x)
$$
其中，$\hat{H}$是哈密顿算符。
由于$V_1(x) \leq V_2(x)$，根据薛定谔方程的性质，我们可以得出：
$$
\hat{H}\psi_1(x) \leq \hat{H}\psi_2(x)
$$
即
$$
E_{n1}\psi_1(x) \leq E_{n2}\psi_2(x)
$$
两边同时乘以$\psi_1^*(x)$并对整个空间积分，得到：
$$
E_{n1} \leq E_{n2}
$$
因此，根据薛定谔方程和势能的大小关系，我们可以证明对于处于两个不同势场中的粒子，其能级$E_{n1}$一定小于等于$E_{n2}$。
更新于 2024年11月21日
