作用在矩阵空间上的线性变换φ保持矩阵乘法,怎么证明φ一定可以表示成PXP逆?
2023-04-21 阅读 59
首先,我们可以证明一个引理:对于任意一个矩阵A,存在唯一的一个可逆矩阵P和一个上三角矩阵U,使得A = P×U×P^-1。
证明如下:
对于A的特征多项式f(x),设其根为λ1, λ2, ..., λn,重根按重数计算。由于A是n阶矩阵,所以f(x)的次数为n,因此一定有n个线性无关的特征向量v1, v2, ..., vn,使得Avi = λivi。
构成矩阵P = [v1, v2, ..., vn],则P^-1存在。将P^-1作用于Avi,可得:
P^-1Avi = λiP^-1vi
即:
AP^-1vi = λiP^-1vi
由此可见,P^-1vi是A的特征向量,对应特征值为λi。因此,P^-1是A的特征向量组成的矩阵的逆矩阵。
设U为对角线上的元素为A的特征值的上三角矩阵,即:
U = [λ1, *, *, ..., *; 0, λ2, *, ..., *; ..., ..., ..., ..., *; 0, 0, ..., λn]
则有:
A = P×U×P^-1
证毕。
现在回到原问题,设φ为一个线性变换,保持矩阵乘法,即对于任意两个矩阵A和B,有φ(AB) = φ(A)φ(B)。
我们需要构造一个可逆矩阵P和一个上三角矩阵U,使得φ可以表示为P×U×P^-1。
考虑将φ限制在由标准基矩阵构成的基上。设φ(Eij) = Aij,其中Eij为仅在第i行第j列为1,其余元素为0的矩阵。则有:
φ(Ei,jEk,l) = AijAkl
又因为φ保持矩阵乘法,所以有:
φ(Ei,jEk,l) = φ(Ei,k)φ(Ej,l) = AikAlj
因此,有:
AijAkl = AikAlj
即:
Aij/Alj = Aik/Akl
因此,对于每个i和j,Aij/Alj都是常数。设这个常数为ci,即:
Aij/Alj = ci
因此,我们可以将Aij表示为:
Aij = ciAlj
将这个式子代入φ(Ei,j) = Aij,得到:
φ(Ei,j) = ciEi,j
因此,我们可以构造一个对角线上的元素为c1, c2, ..., cn的对角矩阵C,使得φ(Eij) = CijEij。
设P为由标准基矩阵构成的基向量组成的矩阵,则P^-1存在,且P^-1的第i列为Ei1, Ei2, ..., Ein。
因此,对于任意矩阵A,有:
φ(A) = φ(∑i,jAijEij) = ∑i,jAijφ(Eij) = ∑i,jAijCijEij
因此,我们可以将φ表示为P×U×P^-1的形式,其中U为对角线上的元素为c1, c2, ..., cn的对角矩阵。
证毕。
更新于 2023年04月24日