作用在矩阵空间上的线性变换φ保持矩阵乘法，怎么证明φ一定可以表示成PXP逆?
首先，我们可以证明一个引理：对于任意一个矩阵A，存在唯一的一个可逆矩阵P和一个上三角矩阵U，使得A = P×U×P^-1。
证明如下：
对于A的特征多项式f(x)，设其根为λ1, λ2, ..., λn，重根按重数计算。由于A是n阶矩阵，所以f(x)的次数为n，因此一定有n个线性无关的特征向量v1, v2, ..., vn，使得Avi = λivi。
构成矩阵P = [v1, v2, ..., vn]，则P^-1存在。将P^-1作用于Avi，可得：
P^-1Avi = λiP^-1vi
即：
AP^-1vi = λiP^-1vi
由此可见，P^-1vi是A的特征向量，对应特征值为λi。因此，P^-1是A的特征向量组成的矩阵的逆矩阵。
设U为对角线上的元素为A的特征值的上三角矩阵，即：
U = [λ1, *, *, ..., *; 0, λ2, *, ..., *; ..., ..., ..., ..., *; 0, 0, ..., λn]
则有：
A = P×U×P^-1
证毕。
现在回到原问题，设φ为一个线性变换，保持矩阵乘法，即对于任意两个矩阵A和B，有φ(AB) = φ(A)φ(B)。
我们需要构造一个可逆矩阵P和一个上三角矩阵U，使得φ可以表示为P×U×P^-1。
考虑将φ限制在由标准基矩阵构成的基上。设φ(Eij) = Aij，其中Eij为仅在第i行第j列为1，其余元素为0的矩阵。则有：
φ(Ei,jEk,l) = AijAkl
又因为φ保持矩阵乘法，所以有：
φ(Ei,jEk,l) = φ(Ei,k)φ(Ej,l) = AikAlj
因此，有：
AijAkl = AikAlj
即：
Aij/Alj = Aik/Akl
因此，对于每个i和j，Aij/Alj都是常数。设这个常数为ci，即：
Aij/Alj = ci
因此，我们可以将Aij表示为：
Aij = ciAlj
将这个式子代入φ(Ei,j) = Aij，得到：
φ(Ei,j) = ciEi,j
因此，我们可以构造一个对角线上的元素为c1, c2, ..., cn的对角矩阵C，使得φ(Eij) = CijEij。
设P为由标准基矩阵构成的基向量组成的矩阵，则P^-1存在，且P^-1的第i列为Ei1, Ei2, ..., Ein。
因此，对于任意矩阵A，有：
φ(A) = φ(∑i,jAijEij) = ∑i,jAijφ(Eij) = ∑i,jAijCijEij
因此，我们可以将φ表示为P×U×P^-1的形式，其中U为对角线上的元素为c1, c2, ..., cn的对角矩阵。
证毕。
