这种抽象函数的周期有没有聪明一点的证法？
2023-06-15 阅读 95
对于一个抽象函数，我们可以通过数学归纳法来证明其周期性。具体来说，我们可以先证明该函数在一个周期内的性质成立，然后利用归纳法证明该性质在任意整数倍周期内都成立。
设函数 $f(x)$ 的周期为 $T$，即 $f(x+T)=f(x)$ 对于任意 $x$ 成立。我们需要证明对于任意整数 $k$，都有 $f(x+kT)=f(x)$ 成立。
首先，当 $k=0$ 时，显然有 $f(x+0T)=f(x)$，即命题成立。
接下来，假设当 $k=n$ 时，命题成立，即 $f(x+nT)=f(x)$ 对于任意 $x$ 成立。那么当 $k=n+1$ 时，有：
$$
f(x+(n+1)T)=f((x+nT)+T)=f(x+nT)=f(x)
$$
因此，命题在 $k=n+1$ 时也成立。
由数学归纳法可知，对于任意整数 $k$，都有 $f(x+kT)=f(x)$ 成立，即函数 $f(x)$ 是周期函数。
更新于 2023年06月16日
