如何优雅地证明Integral[sin(1/x),{x,0,pi}]>pi/2？
2024-11-25 阅读 15
要证明$\int_{0}^{\pi} \sin\left(\frac{1}{x}\right) dx > \frac{\pi}{2}$，可以采用反证法。首先假设$\int_{0}^{\pi} \sin\left(\frac{1}{x}\right) dx \leq \frac{\pi}{2}$。
考虑到被积函数在区间$\left(0, \frac{1}{\pi}\right)$和$\left(\frac{1}{\pi}, \infty\right)$上均为连续函数，可以将积分区间分为两部分：
$\int_{0}^{\pi} \sin\left(\frac{1}{x}\right) dx = \int_{0}^{\frac{1}{\pi}} \sin\left(\frac{1}{x}\right) dx + \int_{\frac{1}{\pi}}^{\pi} \sin\left(\frac{1}{x}\right) dx$
对于第一个积分$\int_{0}^{\frac{1}{\pi}} \sin\left(\frac{1}{x}\right) dx$，注意到$\sin\left(\frac{1}{x}\right)$在$\left(0, \frac{1}{\pi}\right)$上是单调递减的，且$\sin\left(\frac{1}{x}\right) > 0$。因此：
$\int_{0}^{\frac{1}{\pi}} \sin\left(\frac{1}{x}\right) dx > \int_{0}^{\frac{1}{\pi}} 0 dx = 0$
对于第二个积分$\int_{\frac{1}{\pi}}^{\pi} \sin\left(\frac{1}{x}\right) dx$，注意到$\sin\left(\frac{1}{x}\right)$在$\left(\frac{1}{\pi}, \pi\right)$上是单调递减的，且$\sin\left(\frac{1}{x}\right) < 0$。因此：
$\int_{\frac{1}{\pi}}^{\pi} \sin\left(\frac{1}{x}\right) dx < \int_{\frac{1}{\pi}}^{\pi} 0 dx = 0$
综合以上两个不等式，得到：
$\int_{0}^{\pi} \sin\left(\frac{1}{x}\right) dx > 0$
然而，这与我们的假设$\int_{0}^{\pi} \sin\left(\frac{1}{x}\right) dx \leq \frac{\pi}{2}$矛盾。因此，我们的假设是错误的，即$\int_{0}^{\pi} \sin\left(\frac{1}{x}\right) dx > \frac{\pi}{2}$成立。
更新于 2024年11月26日
