如何优雅地证明Integral[sin(1/x),{x,0,pi}]>pi/2？
要证明\int_{0}^{\pi} \sin\left(\frac{1}{x}\right) dx > \frac{\pi}{2}，可以采用反证法。首先假设\int_{0}^{\pi} \sin\left(\frac{1}{x}\right) dx \leq \frac{\pi}{2}。
考虑到被积函数在区间\left(0, \frac{1}{\pi}\right)和\left(\frac{1}{\pi}, \infty\right)上均为连续函数，可以将积分区间分为两部分：
\int_{0}^{\pi} \sin\left(\frac{1}{x}\right) dx = \int_{0}^{\frac{1}{\pi}} \sin\left(\frac{1}{x}\right) dx + \int_{\frac{1}{\pi}}^{\pi} \sin\left(\frac{1}{x}\right) dx
对于第一个积分\int_{0}^{\frac{1}{\pi}} \sin\left(\frac{1}{x}\right) dx，注意到\sin\left(\frac{1}{x}\right)在\left(0, \frac{1}{\pi}\right)上是单调递减的，且\sin\left(\frac{1}{x}\right) > 0。因此：
\int_{0}^{\frac{1}{\pi}} \sin\left(\frac{1}{x}\right) dx > \int_{0}^{\frac{1}{\pi}} 0 dx = 0
对于第二个积分\int_{\frac{1}{\pi}}^{\pi} \sin\left(\frac{1}{x}\right) dx，注意到\sin\left(\frac{1}{x}\right)在\left(\frac{1}{\pi}, \pi\right)上是单调递减的，且\sin\left(\frac{1}{x}\right) < 0。因此：
\int_{\frac{1}{\pi}}^{\pi} \sin\left(\frac{1}{x}\right) dx < \int_{\frac{1}{\pi}}^{\pi} 0 dx = 0
综合以上两个不等式，得到：
\int_{0}^{\pi} \sin\left(\frac{1}{x}\right) dx > 0
然而，这与我们的假设\int_{0}^{\pi} \sin\left(\frac{1}{x}\right) dx \leq \frac{\pi}{2}矛盾。因此，我们的假设是错误的，即\int_{0}^{\pi} \sin\left(\frac{1}{x}\right) dx > \frac{\pi}{2}成立。
