如何从物理角度理解应用旋转振幅矢量图求两个同频率谐振动的合振动（同一直线上）？
2023-08-06 阅读 27
从物理角度理解，我们可以将两个同频率的谐振动看作是两个物体在同一直线上进行振动。设两个物体的振动方程分别为：
$x_1(t) = A_1 \sin(\omega t + \phi_1)$
$x_2(t) = A_2 \sin(\omega t + \phi_2)$
其中，$A_1$和$A_2$分别是两个物体的振幅，$\omega$是振动的角频率，$\phi_1$和$\phi_2$是相位差。
为了求得两个振动的合振动，我们可以将两个振动的位移矢量相加。将$x_1(t)$和$x_2(t)$分别表示为矢量形式：
$\mathbf{X_1}(t) = A_1 \sin(\omega t + \phi_1)\mathbf{i}$
$\mathbf{X_2}(t) = A_2 \sin(\omega t + \phi_2)\mathbf{i}$
其中，$\mathbf{i}$是单位矢量，表示振动方向。
将两个位移矢量相加，得到合振动的位移矢量：
$\mathbf{X}(t) = \mathbf{X_1}(t) + \mathbf{X_2}(t)$
$= A_1 \sin(\omega t + \phi_1)\mathbf{i} + A_2 \sin(\omega t + \phi_2)\mathbf{i}$
$= (A_1 \sin(\omega t + \phi_1) + A_2 \sin(\omega t + \phi_2))\mathbf{i}$
根据三角恒等式，可以将合振动的位移矢量表示为：
$\mathbf{X}(t) = 2\sqrt{A_1A_2}\sin\left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)\cos\left(\omega t + \frac{\phi_1 + \phi_2}{2}\right)\mathbf{i}$
这个式子描述了两个同频率谐振动的合振动在同一直线上的运动。其中，$2\sqrt{A_1A_2}\sin\left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)$表示振幅，$\cos\left(\omega t + \frac{\phi_1 + \phi_2}{2}\right)$表示相位。振幅的大小由$A_1$和$A_2$的乘积决定，相位的差异由$\phi_1$和$\phi_2$的差异决定。
更新于 2023年08月06日
