如何利用费马原理推导开普勒第三定律？
2024-12-31 阅读 15
费马原理可以帮助我们推导出开普勒第三定律。根据费马原理，行星绕太阳公转的轨道是椭圆形，太阳位于椭圆的一个焦点上。根据开普勒第一定律，行星轨道是椭圆形的，太阳位于椭圆的一个焦点上。
现在我们来推导开普勒第三定律。根据牛顿第二定律，行星绕太阳公转时所受的向心力与行星到太阳的距离的平方成正比，即$F = \frac{GMm}{r^2}$，其中$F$为向心力，$G$为引力常数，$M$为太阳的质量，$m$为行星的质量，$r$为行星到太阳的距离。
根据牛顿第二定律，向心力$F$可以表示为$m\frac{v^2}{r}$，其中$v$为行星绕太阳公转的速度。将这两个表达式相等，我们有$\frac{GMm}{r^2} = m\frac{v^2}{r}$。整理得到$v^2 = \frac{GM}{r}$。
根据开普勒第二定律，行星在轨道上的运动速度与其到太阳的距离成反比。因此，行星公转一周的时间$T$与其轨道半长轴$a$的关系为$T^2 = \frac{4\pi^2a^3}{GM}$。
将$v^2 = \frac{GM}{r}$代入$T^2 = \frac{4\pi^2a^3}{GM}$中，得到$4\pi^2a^3 = r^3$。由于椭圆轨道的性质，我们知道$a$和$r$之间存在关系$a = \frac{r_1 + r_2}{2}$，其中$r_1$和$r_2$分别为椭圆的两个焦点到椭圆中心的距离。
因此，我们有$a = \frac{r_1 + r_2}{2} = \frac{2r}{2} = r$。将$a = r$代入$4\pi^2a^3 = r^3$中，得到$4\pi^2r^3 = r^3$，即$4\pi^2 = 1$，从而得到开普勒第三定律$T^2 \propto a^3$。
更新于 2024年12月31日
