周期函数分解为正弦波的公式，如何推导？
2024-11-20 阅读 18
将一个周期为T的周期函数f(t)表示为一组正弦波的叠加，可以使用傅里叶级数展开来推导。
傅里叶级数展开公式为：
\[ f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \left( \frac{2\pi n t}{T} \right) + b_n \sin \left( \frac{2\pi n t}{T} \right) \right) \]
其中，a_0、a_n和b_n为待定系数，通过计算函数f(t)与正弦、余弦函数的内积来求解这些系数。
具体而言，a_0的计算公式为：
\[ a_0 = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) dt \]
a_n和b_n的计算公式为：
\[ a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \cos \left( \frac{2\pi n t}{T} \right) dt \]
\[ b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \sin \left( \frac{2\pi n t}{T} \right) dt \]
通过计算这些积分，可以得到函数f(t)的傅里叶级数展开形式，即将周期函数分解为正弦波的叠加形式。
更新于 2024年11月22日
