如何优雅地证明a ln(x)+x e^(x) (a<0)有最小值？
2024-02-16 阅读 21
要证明函数 \(a \ln(x) + x e^{x}\) 在给定条件 \(a < 0\) 下有最小值，可以通过以下步骤：
1. 求导：首先，对函数进行求导，得到它的导函数。函数 \(a \ln(x) + x e^{x}\) 的导函数为 \(a/x + e^{x} + x e^{x}\)。
2. 寻找临界点：令导函数等于零，解出临界点。即求解方程 \(a/x + e^{x} + x e^{x} = 0\)，得到可能的临界点。
3. 判断最值：通过二阶导数测试或者画出函数的图像，判断临界点是否对应函数的最小值。
4. 确定最小值：找到最小值对应的 \(x\) 值，并代入原函数，求出最小值。
通过以上步骤，可以证明函数 \(a \ln(x) + x e^{x}\) 在给定条件 \(a < 0\) 下有最小值。
更新于 2024年04月17日
