确界定理如何证明连续函数有界?
2024-11-20 阅读 10
确界定理是实数连续函数的一个重要性质，它指出任何非空有界的实数集合必定有上确界和下确界。通过确界定理，我们可以证明连续函数在闭区间上是有界的。
假设函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，即$f(x)$在$[a, b]$上定义且在$[a, b]$上连续。由于闭区间$[a, b]$是有界闭集，根据确界定理，$f(x)$在$[a, b]$上的值集合也是有界的。
因此，存在实数$M$和$N$，使得对于任意$x \in [a, b]$，都有$M \leq f(x) \leq N$。这表明函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上是有界的。
因此，确界定理可以用来证明连续函数在闭区间上是有界的。
更新于 2024年11月24日
