拓扑空间的闭集的闭子集是闭集吗？
2023-06-13 阅读 46
是的，拓扑空间的闭集的闭子集也是闭集。
具体来说，设(X,\tau)是一个拓扑空间，A是X的一个闭子集，即A的补集X\setminus A是开集。设B是A的一个闭子集，即B在X中是闭集。我们需要证明B在X中也是闭集。
由于A是闭集，所以X\setminus A是开集。又因为B是A的子集，所以B\subseteq X\setminus (X\setminus A)=A。因此，B的补集X\setminus B包含在X\setminus A中，即X\setminus B是X\setminus A的子集，因此X\setminus B是开集。这说明B是闭集，证毕。
更新于 2023年06月14日
