拓扑空间的闭集的闭子集是闭集吗？
2023-06-13 阅读 105
是的，拓扑空间的闭集的闭子集也是闭集。
具体来说，设$(X,\tau)$是一个拓扑空间，$A$是$X$的一个闭子集，即$A$的补集$X\setminus A$是开集。设$B$是$A$的一个闭子集，即$B$在$X$中是闭集。我们需要证明$B$在$X$中也是闭集。
由于$A$是闭集，所以$X\setminus A$是开集。又因为$B$是$A$的子集，所以$B\subseteq X\setminus (X\setminus A)=A$。因此，$B$的补集$X\setminus B$包含在$X\setminus A$中，即$X\setminus B$是$X\setminus A$的子集，因此$X\setminus B$是开集。这说明$B$是闭集，证毕。
更新于 2023年06月14日
