一维谐振子能量有确定值吗，为什么用动量与哈密顿量的对易关系证明？
2023-11-19 阅读 49
一维谐振子的能量是量子化的，即具有确定的能量值。这是由于谐振子的哈密顿量是一个可观测量，它的本征值给出了系统的能量谱。
我们可以使用动量与哈密顿量的对易关系来证明一维谐振子的能量是确定的。在量子力学中，动量算符和哈密顿量算符的对易关系可以写为：
[P, H] = 0
其中P是动量算符，H是哈密顿量算符，[A, B]表示两个算符的对易子。
对于一维谐振子，哈密顿量可以表示为：
H = (P^2)/(2m) + (1/2)mω^2X^2
其中m是质量，ω是谐振频率，X是位置算符。
我们可以计算动量和哈密顿量的对易子：
[P, H] = [P, (P^2)/(2m) + (1/2)mω^2X^2]
= (1/2m)[P, P^2] + (1/2)mω^2[P, X^2]
= (1/2m)(P[P, P] + [P, P]P) + (1/2)mω^2([P, X^2])
= (1/2m)(2P[P, P]) + (1/2)mω^2([P, X^2])
= (1/2m)(2P(0)) + (1/2)mω^2([P, X^2])
= 0
最后一步中，我们使用了动量算符P的对易子[P, P] = 0，以及动量和位置算符的对易子[P, X^2] = 0。
因此，我们得出了动量和哈密顿量的对易关系为[P, H] = 0。这意味着在一维谐振子的量子态中，动量和能量可以同时拥有确定的值，即一维谐振子的能量是确定的。
更新于 2023年11月19日
