这个Berry Curvature的公式是怎么得到的？
2023-06-19 阅读 39
Berry曲率的公式可以通过量子力学中的波函数的演化推导出来。假设我们有一个在二维空间中运动的粒子，其波函数可以表示为一个复数函数。当这个粒子沿着一个封闭的路径运动时，其波函数会发生一个相位变化，这个相位变化就是Berry相位。Berry曲率就是描述这个相位变化的一个量。
具体地说，设一个二维的哈密顿量为$H(\textbf{k})$，其中$\textbf{k}$是一个二维动量矢量。假设我们有一个封闭的路径$C$，并且我们沿着这个路径对$\textbf{k}$进行一次绕行，即$\textbf{k}$从路径的起点绕到了终点。在这个过程中，哈密顿量的本征态会发生一个相位变化，这个相位变化就是Berry相位。Berry曲率就是描述这个相位变化的一个量，可以用公式
$$
\Omega(\textbf{k})=i\sum_{n\neq m}\frac{\langle u_n(\textbf{k})|\nabla_{\textbf{k}}H(\textbf{k})|u_m(\textbf{k})\rangle\times\langle u_m(\textbf{k})|\nabla_{\textbf{k}}H(\textbf{k})|u_n(\textbf{k})\rangle}{(E_n(\textbf{k})-E_m(\textbf{k}))^2}
$$
来计算，其中$|u_n(\textbf{k})\rangle$是哈密顿量$H(\textbf{k})$的第$n$个本征态，$E_n(\textbf{k})$是对应的本征值，$\nabla_{\textbf{k}}$是对$\textbf{k}$的梯度算子。
更新于 2023年06月21日
